Algèbre linéaire Exemples

$x^{8} + 80 x^{4} - 81 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} + 80 x^{4} - 81 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{4}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{4}$ par $u$ .

$u^{2} + 80 u - 81 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + 80 u - 81$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 81$ et dont la somme est $80$ .

$- 1, 81$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 81) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$(x^{4} - 1) (x^{4} + 81) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

$x^{4} + 81 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{4} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{4} - 1$ égal à $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{4} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} = 1$

Étape 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Étape 3.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 4

Définissez $x^{4} + 81$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{4} + 81$ égal à $0$ .

$x^{4} + 81 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{4} + 81 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $81$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} = - 81$

Étape 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 81}$

Étape 4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{- 81}$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $- 81$ comme $3^{4} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $81$ à partir de $- 81$ .

$x = \pm \sqrt[4]{81 (- 1)}$

Étape 4.2.3.1.2

Réécrivez $81$ comme $3^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4} \cdot - 1}$

Étape 4.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 3 \sqrt[4]{- 1}$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 \sqrt[4]{- 1}$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 \sqrt[4]{- 1}$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{4} - 1) (x^{4} + 81) = 0$ vraie.

$x = 1, - 1, 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble de toutes les valeurs $x$ valides.

${x | x = 1, - 1, 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}}$

Étape 7